Question

【题目】已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若函数的值域为，求的取值范围；

（3）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

(1)根据对数函数的单调性可解得, 注意真数大于零;

(2) 化简得到的值域为，故能够取到一切大于0的实数，由于二次项系数含参，故需要分类讨论，当时，显然不符合题意；故只能，再结合即得答案.

(3) 化简对数方程得到,在的条件下只有一个根，然后分类讨论即可得到答案.

(1) 时，不等式等价于,

所以,所以,所以,

所以不等式的解集为.

(2) 因为函数的值域为,即的值域为,故能够取到一切大于0的实数,

当时,,不符合题意;

当时,

不符合题意,

当时, 根据二次函数的图象和性质可得,解得;

综上所述: 的取值范围是.

(3) 关于的方程的解集中恰好只有一个元素,

所以的解集中恰好只有一个元素,

即且的解集中恰好只有一个元素,

所以,即,

①当时,解得,此时 ,满足题意;

②当时, ,此时也满足题意;

③当且时,两根为,,

当时,由 得,

当时,由得,

因为和只能取一个值,

所以只能取,所以且,

解得.

综上所述:的取值范围是.