Question

【题目】已知函数，其中．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）记函数的导函数是，若不等式对任意的实数恒成立，求实数a的取值范围；

（3）设函数，是函数的导函数，若函数存在两个极值点，，且，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据导数的几何意义可求切线斜率，由点斜式可得切线方程；（2）先求导，则不等式对任意的实数恒成立，转化为对任意实数恒成立，构造函数，分类讨论，即可求出的范围；（3）先求导根据函数存在两个极值点，可得，且，再化简，可得到，构造，，求出函数的最值即可.

（1）当时，，其中．故．

，故．

所以函数在处的切线方程为，即．

（2）由，可得．

据题意可知，不等式对任意实数恒成立，

即对任意实数恒成立，

令，．故．

若，则，在上单调递增，，故符合题意．

若，令，得（负舍）．

当时，，在上单调递减，故，与题意矛盾，所以不符题意．

综上所述，实数a的取值范围．

（3）据题意，其中．

则．

因为函数存在两个极值点，，所以，是方程的两个不等的正根，

故得，且

所以

；

，

据可得，，

即，又，故不等式可简化为，

令，，则，

所以在上单调递增，又，

所以不等式的解为．

所以实数a的取值范围是．