Question

【题目】设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（1）当b=1时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当n∈N* ， 且n≥2时证明不等式：ln[（ +1）（ +1）…（ +1）]+ + +…+ ＞ ﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2+ln（1+x），则f′（x）=2x+ ，

曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线斜率为f′（0）=1，

切点为（0，0），则切线方程为y=x

（2）解：f′（x）=2x+ = （x＞﹣1），

当b 时，f′（x）≥0，f（x）在x＞﹣1上递增；

当b＜ ，f′（x）=0，解得，x1= ，x2= ，

①当b＜0时，x1＜﹣1，x2＞﹣1，f′（x）＞0，得x＞x2，f′（x）＜0，得﹣1＜x＜x2，

②当0＜b＜ 时，x1＞﹣1，x2＞﹣1，f′（x）＞0，得x＞x2，﹣1＜x＜x1，f′（x）＜0，得x1＜x＜x2；

综上可得，当b 时，f（x）的增区间为（﹣1，+∞）；

当b＜0时，f（x）的增区间为（ ，+∞），减区间为（﹣1， ）；

当0＜b＜ 时，f（x）的增区间为（ ，+∞），（﹣1， ）

减区间为（ ， ）

（3）解：b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1），

令h（x）=x3﹣f（x）=x3﹣x2+ln（x+1），h′（x）= 在x≥0恒正，

h（x）在[0，+∞）递增，x＞0时，h（x）＞h（0）=0，即当x＞0时，x3﹣x2+ln（x+1）＞0，

即ln（x+1）+x3＞x2，对任意的n为正整数，取x= ，有ln（1+ ）+ ＞ ．

则ln[（ +1）（ +1）…（ +1）]+ + +…+

=ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）+ + +…+

=ln（1+ ）+ +ln（1+ ）+ +…+ln（1+ ）+

＞ + +…+ ＞ + +…+

= + +…+

= ﹣

【解析】（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式的方程即可得到；（2）求出导数，讨论当b 时，当b＜0时，0＜b＜ 时，令导数大于0得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域；（3）b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1），令h（x）=x3﹣f（x）=x3﹣x2+ln（x+1），求出导数，运用单调性得到当x＞0时，x3﹣x2+ln（x+1）＞0，即ln（x+1）+x3＞x2，对任意的n为正整数，取x= ，有ln（1+ ）+ ＞ ．再由对数的性质和裂项相消求和即可得证．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．