【题目】已知函数存在唯一极值点。
(I)求的取值范围;
(II)证明:函数与
的值域相同。
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可得: ,
,
分类讨论:当时,
在
内有唯一极值点;
当时,若
,
无极值点,若
,
有两个极值点,不合题意;则
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,设
,则
在
上单减,在
上单增,
的值域为
,则原问题等价于
,即
,整理变形为
,导函数
单增,则原问题等价于
,据此命题得证.
试题解析:
(Ⅰ),
,当
时,
,
故在
上单调递增,又
时,
,
,
故在
内有唯一实根,即
在
内有唯一极值点;
当时,由
得
,故
在
上单增,在
上单减,
若则
恒成立,此时
无极值点,若
,
又时
,
时
,此时
有两个极值点;
综上, ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,设
即
,
则在
上单减,在
上单增,
的值域为
,
要使与
的值域相同,只需
,即
,
即,又
,故
即
,
故只需证,又
单增,所以要证
即证
,
而,故得证.
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【题目】某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业(共10个企业)进行综合评估,得分情况如茎叶图所示.
(Ⅰ)根据茎叶图,求乙地对企业评估得分的平均值和方差;
(Ⅱ)规定得分在85分以上为优秀企业. 若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个,求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.
注:方差
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【题目】为调查银川市某校高中生是否愿意提供志愿者服务,用简单随机抽样方法从该校调查了50人,结果如下:
(1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人,其中男生抽取多少人?
(2)在(1)中抽取的6人中任选2人,求恰有一名女生的概率;
(3)你能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下,认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关?
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
独立性检验统计量其中
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【题目】某化工厂为预测产品的回收率,需要研究它和原料有效成分含量
之间的相关关系,现收集了4组对照数据。
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(Ⅰ)请根据相关系数的大小判断回收率
与
之间是否存在高度线性相关关系;
(Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
,并预测当
时回收率
的值.
参考数据:
1 | 0 | 其他 | |||
| 完全相关 | 不相关 | 高度相关 | 低度相关 | 中度相关 |
,
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
上的动点
到两焦点的距离之和为4,当点
运动到椭圆
的上顶点时,直线
恰与以原点
为圆心,以椭圆
的离心率为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为
,若
交直线
于
两点.问以
为直径的圆是否过定点?若过定点,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】下列说法中错误的是__________(填序号)
①命题“,有
”的否定是“
”,有
”;
②已知,
,
,则
的最小值为
;
③设,命题“若
,则
”的否命题是真命题;
④已知,
,若命题
为真命题,则
的取值范围是
.
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【题目】若由方程x2-y2=0和x2+(y-b)2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解,则实数b的取值范围是( )
A. b≥2或b≤-2
B. b≥2或b≤-2
C. -2≤b≤2 D. -2≤b≤2
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【题目】已知某运动员每次投篮命中的概率都为,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮都命中的概率:先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5表示命中;6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:
162 966 151 525 271 932 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 163 537 989
据此估计,该运动员三次投篮都命中的概率为
A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.35
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