Question

12．函数$y=\frac{4-cosx}{cosx+3}$的值域为[$\frac{3}{4}，\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 把已知等式变形，得到cosx=$\frac{4-3y}{y+1}$，然后利用余弦函数的有界性转化为含有y的绝对值不等式求解．

解答 解：由$y=\frac{4-cosx}{cosx+3}$，得ycosx+3y=4-cosx，即（y+1）cosx=4-3y，
∴cosx=$\frac{4-3y}{y+1}$，
由|cosx|≤1，得$|\frac{4-3y}{y+1}|≤1$，
即（4-3y）²≤（y+1）²，整理得：8y²-26y+15≤0．
解得：$\frac{3}{4}≤y≤\frac{5}{2}$．
∴函数$y=\frac{4-cosx}{cosx+3}$的值域为[$\frac{3}{4}，\frac{5}{2}$]．
故答案为：[$\frac{3}{4}，\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查与三角函数有关的函数值域的求法，考查了三角函数的有界性，训练了绝对值不等式的解法，是中档题．