Question

7．已知正数x，y满足x+y=1，则$\frac{4x+y}{xy}$的最小值为9．

Answer 1

分析 把要求的式子变形为（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$），利用基本不等式即可得到$\frac{4x+y}{xy}$的最小值．

解答 解：∵正数x，y满足x+y=1，
∴$\frac{4x+y}{xy}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$
=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）
=1+$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$+4
≥5+2$\sqrt{4}$=9，
当且仅当$\frac{4x}{y}$=$\frac{y}{x}$时，取等号．
故答案为 9．

点评 本题考查基本不等式的应用，把要求的式子变形为（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=1+$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$+4是解题的关键．