Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，g（x）=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|，则下列性质正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为2π
• B． 函数g（x）为奇函数
• C． 函数f（x）在[0．π]递减
• D． 函数g（x）的最大值为2

Answer 1

分析 利用三角函数的恒等变换和向量的数量积公式求出f（x）和g（x）的解析式，利用余弦函数的性质进行判断．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cos2x，
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，故A错误．
∵f（0）=1，f（π）=1，∴f（x）在[0，π]上不单调，故C错误．
∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3}{2}$x+cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{3}{2}$x-sin$\frac{x}{2}$），
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=（cos$\frac{3}{2}$x+cos$\frac{x}{2}$）²+（sin$\frac{3}{2}$x-sin$\frac{x}{2}$）²=2+2cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=2+2cos2x．
∴g（x）=$\sqrt{2+2cos2x}$，
∴g（x）是偶函数，故B错误．
当cos2x=1时，g（x）取得最大值2．故D正确．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，余弦函数的图象与性质，属于中档题．