Question

8．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB₁，BC₁的中点，则以下结论中不成立的是③．（填序号）
①EF与CC₁垂直；②EF与BD垂直；③EF与A₁C₁异面；④EF与AD₁异面．

Answer 1

分析 利用构造平行线或平面来进行判断．

解答 解：（1）取BB₁中点G，连结EG，FG，
则EG∥AB，FG∥B₁C₁，
∵BB₁⊥AB，BB₁⊥B₁C₁，
∴BB₁⊥EG，BB₁⊥FG，又EG∩FG=G，
∴BB₁⊥平面EFG，
∵BB₁∥CC₁，
∴CC₁⊥平面EFG，
∴CC₁⊥EF．故①正确．
（2）取AB，BC的中点M，N，连结EM，MN，NF，
则EM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}B{B}_{1}$，FN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CC₁$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，
∴四边形EMNF是平行四边形，
∴EF∥MN，
∵M，N是AB，BC的中点，
∴MN∥AC，
∴EF∥AC，
∵AC⊥BD，
∴∴BD⊥EF，故②正确．
（3）∵A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁∥EF，故③错误．
（4）若EF∥AD₁，∵EF∥AC，则AD₁∥AC，显然不成立，∴EF和AD₁不平行．
若EF与AD₁相交，则AD₁，EF共面，
∵A，D₁，F所确定的平面为平面ABC₁D₁，∴E∈平面ABC₁D₁，
而A∈平面ABC₁D₁，∴AB₁?平面ABC₁D₁，显然不成立，∴EF和AD₁不相交．
∴EF和AD₁异面．

点评 本题考查了空间直线的位置关系判断，属于中档题．