Question

16．如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．
（1）求证：PE⊥BD；
（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求$\frac{DE}{DC}的值$．

Answer 1

分析 （1）由BD是AC边上的高，得出BD⊥CD，BD⊥PD，由此证明BD⊥平面PCD，即可证明PE⊥BD；
（2）连接BE，交DM与点F，由PE∥平面DMN，得出PE∥NF，证明△DEF是等边三角形，再利用直角三角形的边角关系求出$\frac{DE}{DC}$的值即可．

解答 解：（1）∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥CD，BD⊥PD，
又PD∩CD=D，
∴BD⊥平面PCD，
又PE?平面PCD中，
∴BD⊥PE，即PE⊥BD；
（2）如图所示，
连接BE，交DM与点F，
∵PE∥平面DMN，
∴PE∥NF，
又点N为PB中点，
∴点F为BE的中点；
∴DF=$\frac{1}{2}$BE=EF；
又∠BCD=90°-60°=30°，
∴△DEF是等边三角形，
设DE=a，则BD=$\sqrt{3}$a，DC=$\sqrt{3}$BD=3a；
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力的应用问题，是综合性题目．