Question

17．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，△ABC是正三角形，直线AA₁⊥平面A₁B₁C₁，D是棱A₁C₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面AA₁C₁C；
（2）求证：BC₁∥平面AB₁D．

Answer 1

分析 （1）欲证明B₁D⊥平面AA₁C₁C，只需推知B₁D⊥A₁C₁，B₁D⊥C₁C₁即可；
（2）连接A₁B交AB₁于点O，连接OD，欲证明BC₁∥平面AB₁D，只需推知BC₁∥OD即可．

解答 证明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，
∴△A₁B₁C₁是正三角形，
又∵D是棱A₁C₁的中点，
∴B₁D⊥A₁C₁．
∵AA₁∥CC₁，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁D?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥B₁D，
∵CC₁∩AC₁=C₁，
∴B₁D⊥平面AA₁C₁C．
（2）连接A₁B交AB₁于点O，连接OD，则O为BA₁的中点．
∵D是棱A₁C₁的中点，
∴OD为△A₁BC₁的中位线．
∴OD∥BC₁．
又OD?平面AB₁D，BC₁?面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D．

点评 本题考查的知识是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面垂直及平行的判定、性质、定义、几何特征，及直三棱柱的几何特征，是解答本题的关键．