Question

5．已知函数f（x）=|2^x-2|，方程f²（x）+tf（x）+1=0，（t∈R）有3个不同的实数根，则t的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-$\frac{5}{2}$]
• B． （-∞，-2]
• C． [-$\frac{5}{2}$，-2]
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 由题意作函数f（x）=|2^x-2|的图象，从而分类讨论求方程的根的个数．

解答 解：由题意作函数f（x）=|2^x-2|的图象如下，
，
当f（x）=2时，代入可得4+2t+1=0，
解得，t=-$\frac{5}{2}$，
此时，f²（x）+tf（x）+1=0的两根为：
f（x）=2或f（x）=$\frac{1}{2}$，
故f²（x）+tf（x）+1=0有三个不同的根；
当4+2t+1＜0，即t＜$\frac{5}{2}$时，
方程f²（x）+tf（x）+1=0有三个不同的根；
故t的取值范围为（-∞，-$\frac{5}{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．