Question

15．如图所示，在边长为$5+\sqrt{2}$的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积．

Answer 1

分析 根据圆的周长等于扇形弧长，以及正方形的对角线列出方程解出圆和扇形的半径，得出圆锥的底面半径，高和母线长．

解答 解：设圆O的半径为r，扇形的半径为R，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{πR}{2}=2πr}\\{R+r+\sqrt{2}r=（5+\sqrt{2}）•\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得R=4$\sqrt{2}$，r=$\sqrt{2}$，
∴围成圆锥的底面半径为$\sqrt{2}$，母线长为l=4$\sqrt{2}$，
∴圆锥的高h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{30}$．
∴圆锥的表面积S=$π×\sqrt{2}×4\sqrt{2}$+$π×（\sqrt{2}）^{2}$=10π．
圆锥的体积V=$\frac{1}{3}×$$π×（\sqrt{2}）^{2}×\sqrt{30}$=$\frac{2\sqrt{30}π}{3}$．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，面积与体积计算，属于中档题．