Question

已知方程

|cos(x- π 2 )|

x

=k在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确的是（　　）

• A、sina=acosb
• B、sina=-acosb
• C、cosa=bsinb
• D、sinb=-bsina

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：问题转化为函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，作出两个函数的图象，导数法求切线可得．

解答： 解：∵方程

|cos(x- π 2 )|

x

=k有两不同的解a，b，
∴方程

|sinx|

x

=k有两不同的解a，b，
∴函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，+∞）上有两个交点，作出两个函数的图象，

函数y=|sinx|和函数y=kx在（0，π）上有一个交点A（a，sina），
在（π，2π）上有一个切点B（b，sinb）时满足题意，a，b是方程的根．
当x∈（π，2π）时，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B处的切线为y-sinb=f′（b）（x-b），将x=0，y=0代入方程，得sinb=-bcosb，
∴

sinb

b

=-cosb，∵O，A B三点共线，∴

-sina

a

=

-sinb

b

，
∴

sina

a

=-cosb，∴sina=-acosb．
故选：B．

点评：本题通过图象考查方程的根，函数的零点，以及导数的知识，转化和数形结合是解题关键，属中档题．