Question

若规定一种对应关系f（k），使其满足：
①f（k）=（m，n）（m＜n）且n-m=k；②如果f（k）=（m，n）那么f（k+1）=（n，r）（m，n，r∈N^*）．若已知f（1）=（2，3），则（1）f（2）=

 

；（2）f（n）=

 

．

Answer 1

考点：映射

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：本题（1）根据新定义①的法则，结合f（1）的值，列出相应的m、n的值，再根据新定义②，求出f（2）；本题（2）由

解答： 解：（1）∵f（k）=（m，n）（m＜n）且n-m=k，f（1）=（2，3），
∴m=2，n=3．
∵f（k）=（m，n）那么f（k+1）=（n，r）（m，n，r∈N^*），
∴f（2）=（3，r），其中r-3=2．
∴r=5．
∴f（2）=（3，5）．
（1）记f（1）=（a₁，a₂），f（2）=（a₂，a₃），f（3）=（a₃，a₄），…，f（n）=（a_n，a_n+1）（n∈N^*）．
∵f（1）=（2，3），
∴a₁=2，a₂=3，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=3，
…
a_n-a_n-1=n-1，（n≥2，n∈N^*）
∴a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）=

n(n-1)

2

，
∴an=

n2-n

2

+2=

n2-n+4

2

，（n≥2，n∈N^*）．
∵当n=1时，a₁=2，

n2-n+4

2

=

1-1+4

2

=2，上式仍成立，
∴an=

n2-n+4

2

，（n∈N^*）．
a_n+1=a_n+n=

n2+n+4

2

．
∴f（n）=（

n2-n+4

2

，

n2+n+4

2

）．
故答案为：（1）（3，5）；（2）（

n2-n+4

2

，

n2+n+4

2

）．

点评：本题考查了新定义问题和递推数列求通项的知识，本题要正确理解新定义并加以应用，有一定的思维难度，属于中档题．