Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1（n∈N^*），
（1）求a_n；
（2）设b_n=

3

an•an+2

，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，若T_m+b_m-1＞

1

2014

成立，求正整数m的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2a_n-1，得S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），S₁=a₁=2a₁-1，从而{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出a_n=2^n-1．
（2）由b_n=

3

an•an+2

=

3

2n-1•2n+1

=

3

4n

，得T_n=1-

1

4n

，从而

2

4m

＞

1

2014

，由此能求出正整数m的最大值．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1（n∈N^*），①
∴S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理，得a_n=2a_n-1，
又S₁=a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1．
（2）∵b_n=

3

an•an+2

=

3

2n-1•2n+1

=

3

4n

，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=

3 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=1-

1

4n

，
∵T_m+b_m-1＞

1

2014

成立，
∴1-

1

4m

+

3

4m

-1＞

1

2014

，即

2

4m

＞

1

2014

，
解得m＜6，∵m∈N^*，∴正整数m的最大值是5．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．