Question

18．S_n为{a_n}的前n项和，已知a₁=1，S_n=n•a_n+1+2ⁿ，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n的表达式为T_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 S_n=n•a_n+1+2ⁿ，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：S_n=n•a_n+1+2ⁿ，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n•a_n+1+2ⁿ-$[（n-1）•{a}_{n}+{2}^{n-1}]$，
∴n（a_n-a_n+1）=2^n-1，
∴$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
数列{$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$}的前n项和T_n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
故答案为：T_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．