Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1+sin2x，sinx-cosx），$\overrightarrow{b}$=（1，sinx+cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）若f（θ）=$\frac{8}{5}$，求cos2（$\frac{π}{4}$-2θ）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得f（x）的最大值及相应的x的值．
（2）利用条件求得 sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos2（$\frac{π}{4}$-2θ）的值．

解答 解：（1）函数f（x））=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+sin2x+（sinx-cosx）•（sinx+cosx）
=1+sin2x-cos2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
故函数f（x）的最大值为1+$\sqrt{2}$，此时，2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z．
（2）若f（θ）=1+$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{8}{5}$，则 sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，
∴cos2（$\frac{π}{4}$-2θ）=cos2（2θ-$\frac{π}{4}$）=1-2${sin}^{2}（2θ-\frac{π}{4}）$=1-2×$\frac{18}{100}$=$\frac{64}{100}$=$\frac{16}{25}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的最值，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．