Question

2．若函数y=f（x）的定义域为R，对于?x∈R，f'（x）＜e^x，且f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 先根据f（1+x）是定义域为R的偶函数求出函数f（x）的对称轴，进而得到f（0）的值，再由f′（x）＜e^x可判断函数g（x）=f（x）-e^x的单调性，将f（x）＜e^x转化为f（x）-e^x＜0=g（0），最后根据函数的单调性得到答案．

解答 解：∵函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，
∴函数f（x）的对称轴为x=1，
∵f（2）=1，∴f（0）=1，
∵f′（x）＜e^x，
∴f′（x）-e^x＜0∴[f（x）-e^x]'＜0
令函数g（x）=f（x）-e^x，则函数g（x）在R上单调递减
且g（0）=f（0）-e⁰=1-1=0，
∵f（x）＜e^x，
∴g（x）=f（x）-e^x＜0=g（0）
∴x＞0
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题主要考查函数的对称性、根据导数判断函数的单调性、根据函数单调性解不等式．