Question

【题目】已知函数

（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；

（2）若函数，则当，时，求证：

①；

②.

Answer 1

【答案】（1）（2）①证明见解析②证明见解析

【解析】

（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程，解方程求得的值.

（2）

①构造函数，利用的导函数证得当时，，由此证得.

②由①知成立，整理得成立.利用构造函数法证得，由此得到，即，化简后得到.

（1）由解得

必过与的交点.

在上取点，易得点关于对称的点为，

即为直线，所以的方程为，即，其斜率为.

又因为，所以，，

由题意，解得.

（2）因为，所以.

①令，则，

则，

且，，

时，，单调递减；

时，，单调递增.

因为，所以，因为，

所以存在，使时，，单调递增；

时，，单调递减；时，，单调递增.

又，所以时，，即，

所以，即成立.

②由①知成立，即有成立.

令，即.所以时，，

单调递增；

时，，单调递减，所以，即，

因为，所以，所以时，，

即时，.