Question

11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t+\frac{1}{2}\end{array}$（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
（1）求圆心的极坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与普通方程的互化得到圆的圆心与极坐标．
（2）化简直线的参数方程转化为普通方程利用点到直线的距离公式公式求解即可．

解答 解：（1）由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，得x²+y²=2x，
故圆C的普通方程为x²+y²-2x=0，所以圆心坐标为（1，0），圆心的极坐标为（1，0）．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t+\frac{1}{2}\end{array}\right.（t$为参数） 化为普通方程是x-2y+1=0，
即直线l的普通方程为x-2y+1=0，因为圆心（1，0）到直线l：x-2y+1=0的距离$d=\frac{{|{1×1+0×（{-2}）+1}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
所以点P到直线l的距离的最大值$r+d=1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=\frac{{5+2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查参数方程与极坐标方程与普通方程的互化，圆的方程的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．