Question

20．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的单调区间和最小值；
（2）若对任意x∈[1，2]，f（x）≥2m-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间从而求出函数的最小值即可；
（2）问题转化为2m-1≤f（x）在[1，2]的最小值即可，而f（x）在[1，2]的最小值为f（1）=0，从而求出m的范围即可．

解答 解 （1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∴f′（x）＞0 有x＞$\frac{1}{e}$，
∴函数f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上递增，
f′（x）＜0有0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上递减，
∴f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得最小值，最小值为f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（2）由（1）知f（x）在[1，2]递增，
所以只需2m-1≤f（x）在[1，2]的最小值即可，
而f（x）在[1，2]的最小值为f（1）=0，
∴2m-1≤0即m≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．