Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．

（1）求C的方程；
（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，

A（3， ），F（ ，0）， ，

∴ ．

∵△ADF为正三角形，

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

∴p=2．

∴C的方程为y2=4x．

当D在焦点F的左侧时， ．

又|FD|=2|FG|=2（ ﹣3）=p﹣6，

∵△ADF为正三角形，

∴3+ =p﹣6，解得p=18，

∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．

∴C的方程为y2=4x．

（2）

解：（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，

∴D（x1+2，0），

∴kAD=﹣ ．

由直线l1∥l可设直线l1方程为 ，

联立方程 ，消去x得 ①

由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，

这时方程①的解为 ，代入 得x=m2，∴E（m2，2m）．

点A的坐标可化为 ，直线AE方程为y﹣2m= （x﹣m2），

即 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴直线AE过定点（1，0）；

（ⅱ）直线AB的方程为 ，即 ．

联立方程 ，消去x得 ，

∴ ，

∴ = ，

由（ⅰ）点E的坐标为 ，点E到直线AB的距离为：

= ，

∴△ABE的面积 = ，

当且仅当y1=±2时等号成立，

∴△ABE的面积最小值为16．

【解析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．