Question

如图，边长为2的正三角形△ABC所在平面与等腰直角三角形DBC所在平面相互垂直，已知DB=DC，AE=1，AE⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC的中点O，连接OA，OD，由已知条件推导出AODE为平行四边形，由此能证明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）由已知条件推导出AO∥DE，AO⊥BD，ED⊥BD，CD⊥BD，由此能证明BD⊥平面CDE．
（Ⅲ）由AO⊥平面BCD，知AO⊥DE，从而得到DE⊥CD，由此能求出三棱锥C-BDE的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取BC的中点O，连接OA，OD，
∵△DBC是等腰直角三角形，面ABC⊥面DBC，DO⊥BC，
∴DO⊥面ABC，DO=1，
又∵AE⊥平面ABC，∴AE∥OD，AE=1，
∴四边形AODE为平行四边形，∴AO∥DE，
∵OA?面ABC，DE?面ABC，∴DE∥平面ABC．…4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得AO∥DE，
又AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD，∴ED⊥BD，
又∵CD⊥BD，CD∩ED=D，∴BD⊥平面CDE…8分
（Ⅲ）解：∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥DE，
∵AO∥DE∴DE⊥平面BCD，∴DE⊥CD，
∴S△EDC=

1

2

DE•DC=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

，
∴VC-BDE=VB-CDE=

1

3

S△CDE•BD=

1

3

×

6

2

×

2

=

3

3

．…12分．

点评：本题综合考察空间线、面的位置关系，体积的计算公式，中等题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．