Question

解下列关于x的不等式：
（1）（ax-2）（x+1）＞0；
（2）（1-ax）²＜1；
（3）12x²-ax＞a²．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）不等式即a（x-

2

a

）（x+1）＞0，再分当a＞0时、当a=0时、当a＜0时三种情况，分别利用二次函数的性质求得不等式的解集．
（2）由（1-ax）²＜1可得-1＜ax＜1，再分当a=0时、当a＞0时、当a＜0时三种情况，分别求得不等式的解集．
（3）不等式12x²-ax＞a²，即12x²-ax-a² ＞0，它的判别式△≥0，再分当a=0时、故当a＞0时、当a＜0时三种情况，分别求得不等式的解集．

解答： 解：（1）对于（ax-2）（x+1）＞0，即a（x-

2

a

）（x+1）＞0，
当a＞0时，

2

a

＞0，不等式的解集为{x|x＜-1，或 x＞

2

a

}；
当a=0时，不等式即-2（x+1）＞0，x+1＜0，求得不等式的解集为{x|x＜-1}；
当a＜0时，若0＞a＞-2，则

2

a

＜-1，不等式的解集为{x|-

2

a

x＜-1}；
若a=-2，不等式即-2（x+1）²＞0，不等式无解，即它的解集为∅．
若a＜-2，则

2

a

＞-1，不等式的解集为{x|-1＜x＜

2

a

}．
（2）由（1-ax）²＜1可得-1＜ax＜1，
当a=0时，不等式无解；当a＞0时，不等式的解集为{x|-

1

a

＜x＜

1

a

}；当a＜0时，不等式的解集为{x|

1

a

＜x＜-

1

a

}．
（3）不等式12x²-ax＞a²，即12x²-ax-a² ＞0，它的判别式△=a²+48a²=49a²≥0，
当a=0时，△=0，不等式的解集为{x|x≠0}．
当a≠0时，不等式的解集为{x|x＜

a-|7a|

24

，或x＞

a+|7a|

24

}，
故当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜-

a

4

，或x＞

a

3

}；当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜

a

3

，或x＞-

a

4

}．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了专化、分类讨论的数学思想，属于基础题．