Question

在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCD的长为4，宽为2．AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形纸片沿直线折叠，使点A落在边CD上，记为点A'，如图所示．
（1）设A'的坐标是（2a，2）（0≤a≤2），写出折痕所在直线的方程；
（2）若折痕经过B时，求折痕所在直线的斜率，并写出以折痕为直径的圆方程．

Answer 1

（1）当a=0时，则“拆痕”所在的直线为线段AD的中垂线，它的方程为y=1．
当0＜a≤2时，则线段A'A的中点E是（a，1），直线A'A的斜率k_A'A=

1

a

，
从而折痕所在直线的斜率k=-a，
此时折痕所在直线的方程为ax+y-1-a²=0；
（2）若折痕经过B时，由a²-4a+1=0，
解得a=2+

3

（舍去），或a=2-

3

，
所以折痕所在直线的斜率为-2．
此时折痕与y轴的交点M的坐标为（0，8-4

3

），折痕中点N的坐标为（2，4-2

3

），
则MB²=4²+（8-4

3

）²=16（8-4

3

）．
所以折痕为直径的圆方程为（x-2）²+（y-4+2

3

）²=32-16

3

．