Question

（2008•南京模拟）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成的角的余弦；
（2）在线段AA₁上取一点F，问AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？

Answer 1

分析：（1）以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点，进而可表示向量，利用向量的数量积可求直线BE与A₁C所成的角的余弦；
（2）要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由

CF1

•

B1F

=0可建立方程，从而得解．

解答：解：（1）因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠ABC=

π

2

．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，…（2分）
因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=

2

，
从而B（0，0，0），A（

2

，0，0），C（0，

2

，0），
B₁（0，0，3），A₁（

2

，0，3），C₁（0，

2

，3），D（

2

2

，

2

2

，3），E（0，

2

2

，

3

2

）．
所以

CA1

=(

2

，-

2

，3)，

BE

=(0，

2

2

，

3

2

)
而|

CA1

|=

13

，|

BE

|=

11

2

，且

CA1

•

BE

=

7

2

所以cosθ=

CA1 • BE

| CA1 || BE |

=

7 2

13 × 11 2

=

7 143

143

…（5分）
所以直线BE与A₁C所成的角的余弦为

7 143

143

．…（6分）
（2）设AF=x，则F（

2

，0，x），

CF

=(

2

，-

2

，x)，

B1F

=(

2

，0，x-3)，

B1D

=(

2

2

，

2

2

，0)，…（8分）

CF

•

B1D

=

2

×

2

2

+(-

2

)×

2

2

+x×0=0，
所以

CF

⊥

B1D

，…（9分）
要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由

CF1

•

B1F

=2+x（x-3）=0，有x=1或x=2，…（11分）
故当AF=1，或AF=21时，CF⊥平面B₁DF．…（12分）

点评：本题的考点是用空间向量求直线间的夹角与距离，主要考查线线角及线面垂直问题，关键是构建空间直角坐标系，利用向量的数量积求解．