Question

已知幂函数f（x）=xp2-2p-3（P为整数）的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上函数单调递减，解不等式f（x-3）＜f（1+2x）．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据f（x）的图象关于原点对称及在（0，+∞）上单调递减，可求出f（x）=x^-3，这时候讨论x-3，1+2x的分布情况，即在（-∞，0），或（0，+∞）上，根据f（x）的单调性及f（x）的符号从而解出原不等式．

解答： 解：∵f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴p²-2p-3＜0；
解得-1＜p＜3，若p=0，f（x）=x^-3，符合f（x）图象关于原点对称；
若p=1，f（x）=x^-4，不符合f（x）图象关于原点对称；
若p=2，f（x）=x^-3，符合f（x）图象关于原点对称；
综上得：f（x）=x^-3，并且得到f（x）在（-∞，0）单调递减；
①若

x-3＜0 1+2x＜0

，即x＜-

1

2

，根据f（x）在（-∞，0）单调递减，由原不等式得，x-3＞1+2x，解得x＜-4；
②若

x-3＜0 1+2x＞0

，即-

1

2

＜x＜3，f（x-3）＜0，f（1+2x）＞0，满足不等式f（x-3）＜f（1+2x）；
③若

x-3＞0 1+2x＞0

，即x＞3，根据f（x）在（0，+∞）上单调递减，则由原不等式得x-3＞1+2x，解得x＜-4，不满足x＞3，所以这种情况不存在；
综上得原不等式的解集为：（-∞，-4）∪(-

1

2

，3)．

点评：考查幂函数的单调性，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，以及根据单调性的定义解不等式．