Question

2．已知动点M在运动过程中，总满足|MF₁|+|MF₂|=2$\sqrt{2}$，其中F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）斜率存在且过点A（0，1）的直线l与轨迹E交于A，B两点，轨迹E上存在一点P满足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）设动点M（x，y），推导出M的轨迹为以F₁，F₂为焦点，以2$\sqrt{2}$为长轴的椭圆，由此能求出动点M的轨迹E的方程．
（2）设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=kx+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+2kx=0，由此求出A和B的坐标，再设P（x，y），由轨迹E上存在一点P满足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求出x，y，代入椭圆方程给求出直线l的斜率．

解答 解：（1）设动点M（x，y），
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），∴|MF1|+|MF2|=2$\sqrt{2}$＞2=|F1F2|，
则M的轨迹为以F₁，F₂为焦点，以2$\sqrt{2}$为长轴的椭圆，
则a=$\sqrt{2}$，c=1，b2=a2-c2=1．
∴动点M的轨迹E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+2kx=0，
∴A（0，1），B（-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$），
设P（x，y），∵轨迹E上存在一点P满足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴（$\sqrt{2}x，\sqrt{2}y$）=（$\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}}\\{y=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{（\sqrt{2}+\sqrt{2}{k}^{2}）^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$=1，整理，得2k⁴-k²-1=0，
解得k=±1．
∴直线l的斜率为±1．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程，椭圆定义\向量知识的合理运用．