Question

6．已知f（x）=kx+b为一次函数，且f（2），f（5），f（4）成等比数列，f（8）=15．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}满足a_n=2^f（n）（n∈N*），求a₁a₂a₃…a_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）求得f（2），f（5），f（4）的解析式，由f（8）=15，b=15-8k，根据等比中项，整理得a²-4a=0，求得a和b的值，代入f（x）的解析式；
（2）a_n=2^f（n）=2^4n-17，根据同底数幂的乘法a₁a₂a₃…a_n=2^-132^-92^-5…2^4n-17，根据等差数列的前n项和公式，即可求得a₁a₂a₃…a_n的表达式．

解答 解：（1）f（2）=2k+b，f（5）=5k+b，f（4）=4k+b，
∵f（8）=8k+b，
∴b=15-8k，
f（2），f（5），f（4）成等比数列，
∴（5k+b）²=（2k+b）（4k+b），
代入整理得：a²-4a=0，求得a=4或a=0（舍去），
∴b=-17，
故f（x）=4x-17，
（2）a_n=2^f（n）=2^4n-17，
a₁a₂a₃…a_n=2^-132^-92^-5…2^4n-17，
=${2}^{\frac{n（-13+4n-17）}{2}}$，
=2^n（2n-15），
a₁a₂a₃…a_n=2^n（2n-15）．

点评 本题考查等差数列前n项和公式，等比数列等比中项的意义，同底数幂的乘法，属于中档题．