Question

15．已知数列{a_n}为等比数列，前n项和为S_n，若S₃S₅-${S}_{4}^{2}$=-16，a₂a₄=32，求S₄的值．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，当q=1时，已知不成立，当q≠1时，由已知列式求得首项和公比，再代入等比数列的前n项和得答案．

解答 解：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
若q=1，由S₃S₅-${S}_{4}^{2}$=-16，a₂a₄=32，得
$15{{a}_{1}}^{2}-16{{a}_{1}}^{2}=-16$，${{a}_{1}}^{2}=32$，此两式不同时成立，∴q≠1；
q≠1时，由S₃S₅-${S}_{4}^{2}$=-16，a₂a₄=32，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}•\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}-（\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}）^{2}=-16}\\{{{a}_{1}}^{2}{q}^{4}=32}\end{array}\right.$，
化简得：$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}=16}\\{{{a}_{1}}^{2}{q}^{4}=32}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=±\sqrt{2}$，q=2．
∴${S}_{4}=\frac{±\sqrt{2}（1-{2}^{4}）}{1-2}=±15\sqrt{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，考查计算能力，是中档题．