Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n=$\frac{19}{20}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，两式相减即可得到a_n=2a_n-1，当n=1时，数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列通项公式即可求得{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知，将a_n=2ⁿ代入，b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，利用“裂项法”，b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，累加法即可求得T_n=$\frac{19}{20}$=$\frac{n}{n+1}$，代入即可求得n的值．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-2，a₁=2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴{a_n}的通项公式，a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和为T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
T_n=$\frac{19}{20}$=$\frac{n}{n+1}$，
解得：n=19，
n的值19．

点评 本题考查求等比数列通项公式，利用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．