Question

9．已知各项都为正数的等比数列{a_n}满足5a₁+4a₂=a₃，且a₁a₂=a₃
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₅a_n，且S_n为数列{b_n}的前n项和，求数列的{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：5a₁+4a₁q=a₁q²，解得：q=5，由a₁•a₁q=a₁q²，代入即可求得a₁=5，根据等比数列通项公式，即可数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知b_n=log₅a_n=n，根据等差数列前n项和公式，求得S_n，利用“裂项法”求得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），采用累加法即可求得数列的{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意可知：等比数列{a_n}的公比为q，q＞0，
由5a₁+4a₂=a₃，即5a₁+4a₁q=a₁q²，
整理得：q²-4q-5=0，解得：q=5或q=-1（舍去），
a₁a₂=a₃，a₁•a₁q=a₁q²，
解得：a₁=5，
a_n=a₁qⁿ=5ⁿ；
数列{a_n}的通项公式，a_n=5ⁿ；
（2）b_n=log₅a_n=n，
S_n为数列{b_n}的前n项和，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
数列的{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n，
T_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$，
数列的{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n，T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列通项公式，等差数列前n项和公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．