Question

18．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为BB₁，DD₁的中点．
（1）证明：A，E，C₁，F四点共面；
（2）画出平面AEC₁F与平面ABCD的交线（写出画法和理由）

Answer 1

分析 （1）证明四边形AEC₁F为平行四边形，即可证明A，E，C₁，F四点共面；
（2）连接BD，过A点作AP∥DB，交CB的延长线于点P，得AP即为所求；
由四边形BFED是平行四边形得EF∥BD，AP∥BD，得出EF∥AP，即证AP是平面AEC₁F与平面ABCD的交线．

解答 解：（1）证明：如图所示，取CC₁的中点H，连接BH，EH，
在正方形BCC₁B₁中，BF∥HC₁，BF=HC₁，
可得BFC₁H为平行四边形，
即有BH∥FC₁，BH=FC₁，
又AB∥EH，AB=EH，可得四边形ABHE为平行四边形，
即有AE∥BH，AE=BH，
则AE=FC₁，AE∥FC₁，可得四边形AEC₁F为平行四边形，
即A，E，C₁，F四点共面；
（2）连接BD，过A点作AP∥DB，交CB的延长线于点P，
则AP即为平面AEC₁F与平面ABCD的交线；
理由是：连接EF，∵E、F是DD₁、BB₁的中点，
∴BF∥DE，且BF=DE，
∴四边形BFED是平行四边形，
∴EF∥BD，
又AP∥BD，
∴EF∥AP，
∴AP是平面AEC₁F与平面ABCD的交线．

点评 本题考查了空间线线与线面的位置关系与应用问题，解题时应注意运用平行四边形的判定和性质，是综合性题目．