Question

13．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CD的中点，求证：平面AC₁E⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析 根据BD⊥AC，BD⊥CC₁得出BD⊥平面ACC₁，从而BD⊥AC₁，同理得出A₁B⊥AC₁，于是AC₁⊥平面A₁BD，从而得出结论．

解答 证明：连接AC，
∵CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥CC₁，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又AC?平面ACC₁，CC₁?平面ACC₁，AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁，又AC₁?平面ACC₁，
∴BD⊥AC₁，
同理可得：A₁B⊥AC₁，
又A₁B?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，A₁B∩BD=B，
∴AC₁⊥平面A₁BD，又AC₁?平面AC₁E，
∴平面AC₁E⊥平面A₁BD．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，属于中档题．