Question

4．已知在△ABC中，a、b、c分别是三内角∠A、∠B、∠C的对边，且$\frac{\sqrt{2}b}{a-\sqrt{2}b}$=$\frac{sin2B}{sinA-sin2B}$，则∠B=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知等式可得：$\frac{\sqrt{2}sinB}{sinA-\sqrt{2}sinB}$=$\frac{2sinBcosB}{sinA-sin2B}$，由sinB≠0可解得$\sqrt{2}$sinA=2sinAcosB，由sinA≠0，可解得：cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合0＜B＜π，可解得B的值．

解答 解：∵$\frac{\sqrt{2}b}{a-\sqrt{2}b}$=$\frac{sin2B}{sinA-sin2B}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{2}sinB}{sinA-\sqrt{2}sinB}$=$\frac{sin2B}{sinA-sin2B}$=$\frac{2sinBcosB}{sinA-sin2B}$，
∴由sinB≠0可解得：$\frac{\sqrt{2}}{sinA-\sqrt{2}sinB}$=$\frac{2cosB}{sinA-sin2B}$，即：$\sqrt{2}$sinA-$\sqrt{2}$sin2B=2sinAcosB-2$\sqrt{2}$sinBcosB=2sinAcosB-$\sqrt{2}$sin2B．
∴$\sqrt{2}$sinA=2sinAcosB，
∴由sinA≠0，可解得：cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴结合0＜B＜π，可解得：B=$\frac{π}{4}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，熟练掌握相关定理公式是解题的关键，属于基本知识的考查．