Question

1．已知椭圆的右焦点为F，A为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点，且B与A关于原点O对称，直线AF交椭圆于另外一点C，直线BF交椭圆于另外一点D，则直线AD与BC的交点M的轨迹方程为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．

Answer 1

分析 利用设而不求的思想，设出A，B的坐标没求出直线DA，DB的斜率即可得到结论

解答 解：如图，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，F（c，0），
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），
∴k_BD=k_BF=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+c}$，
∵k_BD•k_AD=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴k_AD=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+c}{{y}_{1}}$
∴直线AD的方程为y-y₁=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+c}{{y}_{1}}$（x-x₁）①
同理，直线BC的方程为y+y₁=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}-c}{{y}_{1}}$（x+x₁）②
由②-①整理得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$
∴直线AD与BC的交点M在定直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$上．  
故答案为：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．

点评 本题主要考查椭圆方程以及直线和椭圆方程的位置关系的应用，利用设而不求的思想以以及点差法是解决本题的关键．