Question

11．已知函数f（x）=2^x，曲线C₁与g₁（x）=f（x）-$\frac{1}{a}$f（-x）的图象关于原点对称，曲线C₂为g₂（x）=f（x）-af（-x）的图象向右平移2个单位后所得，过x轴上的动点M（t，0）作垂直于x轴的直线分别交曲线C₁、C₂于A、B两点，若函数h（t）=y_A-y_B+x_A-x_B的最小值为m且m＞$\sqrt{7}$，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （$\frac{1}{2}$，4）
• C． （$\frac{1}{4}$，2）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 求得g₁（x）的解析式，由图象关于原点对称的特点，可得曲线C₁对应的函数，再由图象平移的特点，可得曲线C₂对应的函数，再令x=t，求得A，B的纵坐标，求得函数h（t），再由基本不等式可得最小值，解a的不等式可得a的范围．

解答 解：g₁（x）=f（x）-$\frac{1}{a}$f（-x）=2^x-$\frac{1}{a}$•2^-x，
由图象关于原点对称，可得曲线C₁对应的函数为y=-（2^-x-$\frac{1}{a}$•2^x），
g₂（x）=f（x）-af（-x）=2^x-a•2^-x，
由图象向右平移2个单位可得曲线C₂对应的函数为y=2^x-2-a•2^2-x，
令x=t可得y_A=-（2^-t-$\frac{1}{a}$•2^t），y_B=2^t-2-a•2^2-t，
即有h（t）=y_A-y_B+x_A-x_B=-（2^-t-$\frac{1}{a}$•2^t）-（2^t-2-a•2^2-t）
=（4a-1）•2^-t+（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$）•2^t，
由于h（t）有最小值，则4a-1＞0，$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4}$＞0，
可得$\frac{1}{4}$＜a＜4，
又最小值m=2$\sqrt{（4a-1）（\frac{1}{a}-\frac{1}{4}）}$＞$\sqrt{7}$，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜2．
综上可得a的范围是（$\frac{1}{2}$，2）．
故选A．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，同时考查图象的对称性和图象平移的应用，考查运算能力，属于中档题．