Question

3．已知函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$，判断下列六个命题的真假：
（1）f（x）＜1
（2）f（x）没有最大值
（3）f（x）是周期函数                      
（4）f（x）是偶函数
（5）f（x）的相邻零点的差的绝对值为常数；  
（6）当x=$\frac{3}{2}$π时，f（x）取得最小值．
其中真命题有（1）（2）（4）．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 分析函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$的图象和性质，进而判断6个命题的真假，可得结论．

解答 解：函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$表示y=sinx一点（x，sinx）与原点连线的斜率，
故当点（x，sinx）与原点连线与y=sinx相切时，取得最大值，
由y′=cosx可得y=sinx切线斜率的最大值为1，
又由x≠0，故$\frac{sinx}{x}$≠1，
即f（x）＜1，
故（1）正确，（2）正确；
函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$不是周期函数，故（3）错误；
函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$满足f（-x）=f（x），是偶函数，故（4）正确；
令f（x）=0，则sinx=0，x=kπ，k∈Z且k≠0，
则f（x）的相邻正零点和相邻负零点的差的绝对值为常数π，
但最大的负零点-π与最小的正零点π之间差的绝对值为2π，
故（5）错误；
f（x）有最大值，但最小值点不是$\frac{3}{2}$π，故（6）错误；
故真命题为：（1）（2）（4），
故答案为：（1）（2）（4）

点评 考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．