Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a，b∈R，F₁，F₂分别为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，点P为双曲线上一点满足|OP|=3a，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比数列，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{21}}{3}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{7}}{3}$
• D． $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 通过等比数列、双曲线的定义，结合平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和，即可求出离心率．

解答 解：由题意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=8c²+4a²…①
因为|OP|=3a，
所以2（|PF₁|²+|PF₂|²）=4c²+4（3a）²，
所以2（8c²+4a²）=4c²+4（3a）²，
所以7a²=3c²，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义，以及等比数列的应用，考查分析问题解决问题的能力，是有难度的综合问题．