Question

已知曲线C是到两定点F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．
（1）若a=

3

，求曲线C的方程；
（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；
（3）若a=1，是否存在一直线y=kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由双曲线定义得曲线C是以F₁（-2，0）、F₂（2，0）为焦点，以2

3

为实数的双曲线，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为：y=kx+1，k=±

3

3

时，直线l为y=±

3

3

x+1与曲线C：

x2

3

-y2=1只有一个焦点．联立

x2-3y2=3 y=kx+1

，得（1-3k²）x²-6kx-6=0，当1-3k²≠0时，△=36k²+24（1-3k²）=0，由此能求出直线l的方程．
（3）当a=1时，曲线C的方程为x2-

y2

3

=1，联立

x2- y2 3 =1 y=kx+2

，得（3-k²）x²-4kx-4=0，由OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=4-

4

3-k2

=0，能求出k．

解答： 解：（1）∵曲线C是到两定点F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2

3

，
∴由双曲线定义得曲线C是以F₁（-2，0）、F₂（2，0）为焦点，
以2

3

为实数的双曲线，
∴曲线C的方程为

x2

3

-y2=1．
（2）∵直线l过（0，1）点，
∴当直线l的斜率不存在时，直线l为x=0，不成立；
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为：y=kx+1，
当k=±

3

3

时，直线l为y=±

3

3

x+1与曲线C：

x2

3

-y2=1只有一个焦点．
联立

x2-3y2=3 y=kx+1

，得（1-3k²）x²-6kx-6=0，
当1-3k²≠0时，
△=36k²+24（1-3k²）=0，
解得k=±2，
∴直线l与曲线C只有一个公共点，直线l的方程为y=±2x+1．
综上所述，直线l的方程为y=±

3

3

x+1或y=±2x+1．
（3）当a=1时，曲线C的方程为x2-

y2

3

=1，
联立

x2- y2 3 =1 y=kx+2

，得（3-k²）x²-4kx-4=0，
△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k

3-k2

，x₁x₂=-

4

3-k2

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+4
=-

4k2

3-k2

+

4k2

3-k2

+4=4，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=4-

4

3-k2

=0，
3-k²=1，解得k=±

2

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线的斜率是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．