Question

已知数列{an}为等比数列，b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…+lga_n-1+lg（ka_n）]，是否存在正数k，使数列{b_n}为等差数列？

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：先假设存在正数k使数列{b_n}为等差数列，设等比数列{a_n}的公比为q求出a_n，代入b_n利用对数的运算律、等比数列的通项公式化简bn，再根据等差数列的定义得
bn-b_n-1=d（d为常数），再代入bn化简判断出lgk=0，进而求出k的值．

解答： 解：假设存在正数k使数列{b_n}为等差数列，
设等比数列{a_n}的公比为q，则a_n=a₁q^n-1＞0，
所以b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…+lga_n-1+lg（ka_n）]
=

1

n

lg[k（a₁a₂…a_n）]
=

1

n

lg[k(a1nq1+2+…+n-1)]
=

1

n

[lg(ka1n)+lgq

n(n-1)

2

]
=

1

n

[lg(ka1n)+lgq

n(n-1)

2

]
=

1

n

lgk+lga1+

n-1

2

lgq，
如果b_n为等差数列，则有b_n-b_n-1=d（d为常数），n≥2，
所以b_n-b_n-1=

1

n

lgk+lga1+

n-1

2

lgq-（

1

n-1

lgk+lga1+

n-2

2

lgq）
=

1

2

lgq-

1

n(n-1)

lgk为常数，
因为

1

n(n-1)

不可能为常数，所以系数lgk必为0，即lgk=0，
解得k=1．
则等差数列{b_n}的公差是

1

2

lgq，
所以存在这样的k使得数列{bn}成等差数列，且k=1．

点评：本题考查等比数列的通项公式，等差数列的定义以及对数的运算律，较综合，考查计算化简能力．