Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求异面直线BD与B₁C所成角的余弦值；
（2）求证：平面ACB₁⊥平面B₁D₁BD．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接D₁C，利用正方体的性质可得△B₁CD₁为等边三角形，BD∥B₁D₁，即可得出；
（2）利用正方体的性质、线面与面面垂直的判定与性质定理即可得出．

解答： （1）解：连接D₁C，则D₁C=D₁B₁=B₁C，
∴∠D₁B₁C=60°，
∵D₁B₁∥BD，
∴∠D₁B₁C为异面直线BD与B₁C所成的角，
∴异面直线BD与B₁C所成角的余弦值为cos60°=

1

2

．
（2）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
又∵BB₁⊥平面AC，AC∈平面AC，
∴BB₁⊥AC，
且BB₁∩BD=B，∴AC⊥平面B₁D₁BD，
又AC∈平面ACB₁，
∴平面ACB₁⊥平面B₁D₁BD．

点评：本题考查了正方体的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质、异面直线所成的角，考查了推理能力，属于基础题．