Question

设f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n，其中n为正整数．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜想满足不等式f（n）＜0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n＜0，再利用数学归纳法证明即可：①当n=3时，f（3）=-

17

27

＜0成立；②假设当n=k（n≥3，n∈N⁺）时猜想正确，即(1+

1

k

)k-k＜0，
去证明当n=k+1（n≥3，n∈N⁺）时，f（k+1）=(1+

1

k+1

)k+1-（k+1）＜0也成立即可．

解答： 解：（1）∵f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n，
∴f（1）=1，f（2）=(1+

1

2

)2-2=

1

4

，f（3）=(1+

1

3

)3-3=

64

27

-3=-

17

27

，…（3分）
（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n＜0，…（4分）
证明：①当n=3时，f（3）=-

17

27

＜0成立，…（5分）
②假设当n=k（n≥3，n∈N⁺）时猜想正确，即f（k）=(1+

1

k

)k-k＜0，
∴(1+

1

k

)k＜k，
则当n=k+1时，
由于f（k+1）=(1+

1

k+1

)k+1=(1+

1

k+1

)k（1+

1

k+1

）＜(1+

1

k

)k（1+

1

k+1

）
＜k（1+

1

k+1

）=k+

k

k+1

＜k+1，…（8分）
∴(1+

1

k+1

)k+1＜k+1，即f（k+1）=(1+

1

k+1

)k+1-（k+1）＜0成立，
由①②可知，对n≥3，f（n）=（n）=（1+

1

n

）ⁿ-n＜0成立．…（10分）

点评：本题考查数学归纳法，考查运算、推理及论证能力，属于中档题．