Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为-3和0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的极小值为-1，求f（x）的极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f'（x）=[ax²+（2a+b）x+b+c]e^x．令g（x）=ax²+（2a+b）x+b+c，简化运算；
（Ⅱ）由f（x）的极小值为-1确定参数值，通过导数求极大值．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=（2ax+b）e^x+（ax²+bx+c）e^x=[ax²+（2a+b）x+b+c]e^x．
令g（x）=ax²+（2a+b）x+b+c，
∵e^x＞0，
∴y=f'（x）的零点就是g（x）=ax²+（2a+b）x+b+c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．
又∵a＞0，
∴当x＜-3，或x＞0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
当-3＜x＜0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=0是f（x）的极小值点，
所以有

c=-1 b+c=0 9a-3(2a+b)+b+c=0

解得a=1，b=1，c=-1．  
所以函数的解析式为f（x）=（x²+x-1）e^x．
又由（Ⅰ）知，f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．
所以，函数f（x）的极大值为f(-3)=(9-3-1)e-3=

5

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．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．