Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，其前n项和S_n满足S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n以及前n和S_n；
（2）令b_n=2log₂a_n+1．求数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹求数列{a_n}的通项公式a_n，利用等比数列的前n项和公式求前n和S_n；
（2）利用裂项法，求数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ，
∴S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2；
（2）b_n=2log₂a_n+1=2n+1，
∴

1

bn•bn+1

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）=

n

6n+9

．

点评：本题考查等比数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．