Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-3x+b

3x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的性质f（0）=0和奇函数的性质求解；（2）利用函数单调性的定义进行证明．

解答： 解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即

-1+b

3+a

=0，解得b=1．---（2分）
从而有 f(x)=

-3x+1

3x+1+a

又由f（1）=-f（-1）知

-3+1

9+a

=-

- 1 3 +1

1+a

，解得a=3．----------（5分）
∴a=3，b=1．
（2）由（1）知f(x)=

-3x+1

3x+1+3

=-

1

3

+

2

3(3x+1)

----------------（7分）
对于任意的x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂，---------------（8分）
∴△x=x₂-x₁＞0，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）
=(-

1

3

+

2

3(3x2+1)

)-(-

1

3

+

2

3(3x1+1)

)
=

2(3x1-3x2)

3(3x1+1)(3x2+1)

＜0
所以函数f（x）在全体实数上为单调减函数．----------------（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，应用定义进行解答即可．