Question

已知|

a

|=1，|

b

|=2
（1）若

a

∥

b

，求

a

•

b

的值；
（2）若

a

，

b

不共线，且对?t∈R，|t

a

+

b

|≥|

a

-

b

|恒成立，求

a

，

b

的夹角θ．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由于

a

∥

b

，可得＜

a

，

b

＞=0或π；
（2）由|t

a

+

b

|≥|

a

-

b

|，利用数量积的运算性质可得：

t2 a 2+ b 2+2t a • b

≥

a 2-2 a • b + b 2

，化为t²+4tcosθ+4cosθ-1≥0，由于

a

，

b

不共线，且对?t∈R，|t

a

+

b

|≥|

a

-

b

|恒成立，可得△≤0，解出即可．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，
∴

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞=1×2cos＜

a

，

b

＞=±2；
（2）由|t

a

+

b

|≥|

a

-

b

|可得：

t2 a 2+ b 2+2t a • b

≥

a 2-2 a • b + b 2

，
化为t²+4tcosθ+4cosθ-1≥0，
∵

a

，

b

不共线，且对?t∈R，|t

a

+

b

|≥|

a

-

b

|恒成立，
∴△=16cos²θ-4（4cosθ-1）≤0，
化为（2cosθ-1）²≤0，
∴cosθ=

1

2

，
∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

3

．

点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．