Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）设PD=AD=a，求三棱锥B-EFC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）可证PD⊥平面ABCD，而后CD⊥平面PAD，则CD⊥PA．从而证明EF⊥CD．（2）三棱锥B-EFC的体积等于三棱锥F-EBC的体积．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD⊥CD．又∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD，且AD∩PD=D．
∴CD⊥平面PAD，又∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA．又∵EF∥PA，
∴EF⊥CD． 
（2）解：连接AC，DB相交于O，连接OF，
则OF⊥面ABCD，
∴VB-EFC=VF-EBC=

1

3

S△EBC•OF=

1

3

•

1

2

•a•

a

2

•

a

2

=

1

24

a2．

点评：本题考查了学生的空间想象力，线面垂直的判定定理及转化的数学思想．