Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n≥2）．
（Ⅰ）求a₃、a₄，猜想a_n的表达式，并加以证明；
（Ⅱ）设b_n=

1

1 an + 1 an+1

，求证：对任意的自然数n∈N^*都有b₁+b₂+…+b_n＜

n 3

．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）依题意，易求得a₃=

1

7

，a₄=

1

10

，于是可猜想an=

1

3n-2

；再利用数学归纳法证明即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=

1

3n+1 + 3n-2

=

1

3

(

3n+1

-

3n-2

)，于是可得b₁+b₂+…+b_n=

1

3

(

3n+1

-1)，只需证明

1

3

(

3n+1

-1)＜

n 3

即可．

解答： （Ⅰ）解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n≥2），
∴a₃=

(2-1)a2

2-a2

=

1 4

2- 1 4

=

1

7

，同理可求a₄=

1

10

，
故可以猜测an=

1

3n-2

…（2分）
下面用数学归纳法证明：显然当n=1时，结论成立．…（3分）
假设当n=k（k≥1）时结论成立，即ak=

1

3k-2

，
当n=k+1时，ak+1=

(k-1)ak

k-ak

=

k-1

3k2-2k-1

=

1

3(k+1)-2

…（5分）
即当n=k+1时，结论也成立，综合可得an=

1

3n-2

成立．…（6分）
（Ⅱ）证明：∵bn=

1

3n+1 + 3n-2

=

1

3

(

3n+1

-

3n-2

)，…（8分）
∴b₁+b₂+…+bn=

1

3

[(

4

-1)+(

7

-

4

)+…+(

3n+1

-

3n-2

)]=

1

3

(

3n+1

-1)=

1

3

(

3n+1

-1)，
要证b₁+b₂+…+b_n＜

n 3

成立，
只需证明

1

3

(

3n+1

-1)＜

n 3

，即证

3n+1

＜

3n

+1，…（10分）
即证3n+1＜3n+2

3n

+1，即证2

3n

＞0，该式显然成立，故结论得证．…（12分）

点评：本题考查数列递推关系的应用，考查运算、猜想及数学归纳法推理证明的能力，考查分析法，属于中档题．