Question

已知函数f（x）=xln（x+1）-a（x+1），其中a为常数，
（1）求函数的定义域；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，求a的取值范围；
（3）若a＞1，求g（x）=f′（x）-

ax

x+1

的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的定义域及其求法

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据对数函数的定义解出即可；
（2）先把f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0转化为a＜ln（1+x）+

x

1+x

，再利用导函数研究出不等式右边的单调性，进而求出其最值即可求出实数a的取值范围；
（3）先求出函数g（x）的导函数，分情况得到导函数值为正和为负对应的变量的取值范围，进而求出其单调区间．

解答： 解：（1）∵x+1＞0，
∴x＞-1，
函数的定义域为（-1，+∞）；
（2）由f'（x）=ln（1+x）+

x

1+x

-a＞0
得a＜ln（1+x）+

x

1+x

，
令h（x）=ln（1+x）+

x

1+x

，则h'（x）=

1

1+x

+

1

(1+x)2

．
当x∈[1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上递增，
∴a＜h（1）=

1

2

+ln2．
∴实数a的取值范围是（-∞，

1

2

+ln2）．
（3）g（x）=ln（1+x）+

(1-a)x

1+x

-a，x∈（-1，+∞），
则g'（x）=

x+2-a

(x+1)2

①当a＞1时，x∈（-1，a-2），g'（x）＜0，g（x）是减函数，
x∈（a-2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
②当a≤1时，x∈（-1，+∞），g'（x）＞0，g（x）是增函数．
所以：当a＞1时，减区间为（-1，a-2），增区间为（a-2，+∞）；
当a≤1时，增区间为（-1，+∞）．

点评：本题主要研究利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性时，一般结论是：导数大于0对应区间为原函数的递增区间；导数小于0对应区间为原函数的递减区间．